Considere um recipiente contendo um líquido com massa específica µ, e um corpo sólido com forma cúbica, com faces de área A, completamente imerso, e que a face superior esteja paralela à superfície do líquido:
Cada face do corpo, devido à pressão hidrostática, ficará submetido à forças, como mostra a figura abaixo:
As forças horizontais se cancelam, mas as forças verticais, não. Isso acontece porque o líquido exerce uma força maior na face inferior (a pressão hidrostática é maior) e, uma força menor na face superior (porque a pressão é menor).
A pressão hidrostática na profundidade h1, é:
O módulo da força F1 (para baixo), é:
Da mesma forma, o módulo da força F2 (para cima), é:
O módulo da força resultante (para cima) exercida pelo líquido sobre o corpo, será:
Mas Δh corresponde à aresta do cubo (altura do cubo), e (A.Δh) corresponde ao volume completamente imerso Vi do cubo.
Assim, o módulo da força resultante será:
A força resultante (para cima) exercida por um fluido (líquido ou gás) é chamada de Empuso (E). Sendo assim, esta força sempre será determinda a partir da expressão:
Onde Vi corresponde ao volume do corpo imerso no fluido.
Apesar do resultado acima ter sido obtido a partir de um sólido regular (cubo), a forma do corpo não influencia no empuxo, apenas o volume que esteja imerso.
Na prática, o empuxo corresponde ao peso do fluido (líquido ou gás) que caberia no volume deslocado pelo corpo (volume imerso). Esse resultado é conhecido como o Princípio de Arquimedes.
Princípio de Arquimedes
"Um corpo imerso em um fluido (líquido ou gás) fica sujeito a uma força, vertical e para cima, igual ao peso do fluido deslocado pela presença daquele objeto."
Arquimedes de Siracusa (287AEC - 212AEC)
Foi um matemático, filósofo, físico, engenheiro, astrônomo, e inventor grego.
Entre as contribuições de Arquimedes à Física, estão as fundações da Hidrostática e Estática, tendo descoberto o empuxo e a alavanca, além de muitas outras contribuições. Ele inventou ainda vários tipos de máquinas para usos militares e civis, incluindo a bomba d'água de parafuso, que leva seu nome.
Parafuso de Arquimedes
Exemplo
Uma esfera oca de metal flutua na água. Sabe-se que sua massa é m=600g, que metade de seu volume está imerso, e que a massa específica da água é µ=1000kg/m³.
a) Qual o valor do empuxo sobre a esfera?
b) Qual o volume da esfera?
c) Qual a densidade da esfera?
Resolução:
a) A esfera esté em equilíbrio estático ao flutuar, sob a ação do seu peso P (para baixo, e exercido pelo planeta) e o empuxo E (para cima, e exercido pela água):
Sendo assim, o módulo do empuxo E é igual ao módulo do peso P:
b) Mas através do Princípio de Arquimedes, sabemos que:
Como apenas a metade da esfera está imersa, seu volume V, é:
c) A densidade da esfera é:
Perceba que a densidade da esfera, 500kg/m³, é menor que a massa específica da água, 1000kg/m³, por isso ela flutua.
E, nesse caso em especial, a densidade tem a metade do valor da massa específica da água, porque apenas a metade do volume da esfera está imerso.
Esse resultado é interessante porque a densidade do corpo d, que flutua em um fluido, será sempre uma fração da massa específica µ desse fluido.
Esta fração corresponde a mesma do volume imerso em relação ao volume total V do corpo (Vi /V).
Por exemplo, se um corpo flutua na água, e 3/4 do seu volume está imerso:
sua densidade corresponde a 3/4 da massa específica da água, ou seja:
Este resultado pode ser obtido através do que estudamos sobre estática. Quando um corpo com densidade d, volume V , massa m=d.V flutua com parte do volume imerso Vi num líquido de massa específica µ, o módulo do seu peso P é igual ao empuxo E feito pelo líquido:
Exemplo 2
Três cubos sólidos idênticos, com mesmo volume V e densidade d=0,30g/cm³, são colocadas em três líquidos diferentes, A, B e C, como mostra a figura abaixo.
Qual a massa específica de cada líquido?
Resolução:
Para o líquido A, temos:
Para B:
e, C:
Perceba que quanto maior a massa específica do líquido, menor será o volume imerso do corpo.
A massa específica da água salgada apresenta uma diferença por causa dos sais minerais presentes em sua composição. Ela pode sofrer variações de 1,017g/cm³ até 1,030g/cm³. É por causa dessa diferença que é mais fácil boiar no mar do que na água doce.
No Mar Morto (no Oriente Próximo, entre Israel e a Jordânia), como a água é extremamente salgada (tem muito, muito sal e outros minerais diluídos), a sua massa específica também é muito maior (1,12g/cm³); desse modo, é muito fácil flutuar naquelas águas, já que o corpo humano fica grande parte fora d'água. Muito diferente do que estamos acostumados quando boiamos em piscinas, lagoas, ou mesmo em praias, onde a água também é salgada, mas nem tanto quanto lá.
Banhista flutuando no Mar Morto
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